Maximális és minimális értékek a funkció - studopediya

Ha a függvény folytonos a zárt intervallum xÎ[A; b]. ez szükségszerűen ebben az intervallumban a minimum és maximum értékeket (ez az egyik tulajdonságait folytonos függvények zárt intervallum):

Ezeket az értékeket az elért vagy funkció szélsőértékek pontokat a szegmensen belül, vagy a végpontok.

Jellemzően gyakorolni megtalálni a legkisebb és legnagyobb értékét a függvény a szegmensben:

1) megtalálják a kritikus pontok az intervallum;

2) kiszámítja a függvény értékei találhatók a kritikus pontokat;

3) kiszámítjuk a függvény értékei a végpontokon, azaz pontok x = a és x = b;

4) az összes számított függvény értékei válassza ki a legnagyobb és a legkisebb.

Ha a függvény az intervallum xÎ[A; b], csak egy kritikus pont, és az a pont a maximális (minimális), akkor ezen a ponton a függvény a legnagyobb (legkisebb) értékét.

Keresse meg a legnagyobb és a legkisebb érték a függvény az intervallum xÎ[-2, 3].

Ettől. A kritikus pont a függvény x1 = -1 és x2 = 1, és mindkettő a intervallum
[-2; 3]. Összehasonlítva a függvény értékei ezeken a pontokon, és a függvény értékei végein egy meghatározott hosszúságú

Arra a következtetésre jutottunk, hogy a legkisebb érték a függvény értéke 1, és helyén elért x = 2 és X = 1, és a legnagyobb funkció érték egyenlő 21 és elért X = 3.

Az összes eredményt jól illusztrálja egy vázlatos rajz egy adott intervallumban.

. xÎ[1, e]. Keressen és.

Minden pontján ezt az előre meghatározott függvény a zárt szegmens meghatározása és folyamatos, van egy-származék

Mindkét fixpont x1 = 0, és x2 nem tartozik az [1; e]. Ezért nincs kritikus pont egy előre meghatározott intervallumban (azaz megtartja a funkció monotonitás). Továbbra is kiszámítja a függvény értékét a végpontok:

Vezetés függvény grafikonját:

Keresse meg a legalacsonyabb és a legmagasabb érték a funkciót. .

Ebben a zárt intervallum függvény folytonos, és van egy-származék.

Találunk kritikus pontok egy előre meghatározott időszak:

Þ Û Û

Kiszámoltuk az értékek a kritikus pontot, és a végén a intervallum:

Vezetés függvény grafikonját:

Sok geometriai, fizikai és technikai feladatokat, amelyek segítenek megtalálni a legnagyobb és legkisebb érték a kapcsolódó funkcionális kapcsolatát egy másik értéket. Ahhoz, hogy megoldja ezt a problémát, meg kell, alapján annak feltételei, válassza ki a független változó, és kifejezni azt az értéket a vizsgált ezzel a változóval, majd keresse meg a kívánt maximális, illetve minimális értékét a kapott függvény. Ebben az intervallumban a független változó változás lehet véges vagy végtelen, akkor is meghatározza a feltételeket a problémát.

Határozzuk nyitott medence méretű négyzet alakú alsó 32 m 3, így a bélés falak és az alsó ment legalább mennyiségű anyagot.

Az anyag mennyisége szükséges a falak és a padló a medence határozza meg a medence felülete, azaz a érték (m 2). ahol

X - a hossza az oldalán egy négyzet alakú alsó,

y - a magassága a medence.

Mivel a kötet a medence rögzített. x értékei és Y nem függetlenek, de kapcsolódik az egyenlet x 2 y = 32. ahonnan találunk.

Ezután a vizsgálat tárgyát képező értékének a környéken. függvényében fejeztük ki egy független változó x:

Megvizsgáljuk ezt a funkciót a legalacsonyabb érték, rajzoló való függését x:

Þ ha x = 4;

A: medence mérete X m = 4, y = 2 m.

A három táblák azonos szélességű szorosan hegesztett csúszda vízellátására. Hogy milyen dőlésszöge oldalfalainak a vályú, hogy az alján a keresztmetszeti területe a vályú lesz a legnagyobb?

A keresztmetszet a vályú egy egyenlő szárú trapéz ABCD, amelyben oldalsó és az alsó bázis egyenlő a szélessége a táblák (jelöli egy).

Nyilvánvaló, hogy ez trapéz terület függ a dőlésszög az oldalán az alsó alap. De itt ez sokkal kényelmesebb, hogy vezessenek be mint független változó szögben.

A változó terület a trapéz S felírható a szög függvényében:

. Î . ahol, S (0) = a 2. S = 0.

Mi található a legnagyobb értéke a folytonos függvény a zárt intervallum:

a Û Û

- az egyetlen fix pont a térben.

Nézzük ellenőrizni, hogy ez a maximális pontot a második derivált:

ha a funkció maximum (a második elegendő optimumfeltételekbe).

Mivel ez a legnagyobb az egyetlen szélsőérték az intervallumot, és ez adja a legnagyobb értéke a funkciót.

Megállapítást. kielégíti a feltételeket, a probléma, akkor számítani.

Keresse meg a minimum és maximum értékét a függvény egy zárt intervallum.