Elementary valószínűségszámítás
Valószínűségszámítás törvényszerűségeit kutató felmerülő véletlen kísérletekben. Véletlen kísérlet nevezik, ami lehetetlen megjósolni a kimenetelét előre. Az képtelenség megjósolni az eredményt eltérnek determinisztikus véletlenszerű jelenség.
Nem minden véletlen események (kísérlet) lehet tanulmányozni módszerekkel valószínűségszámítás, de csak azok, amelyek lehet reprodukálni az azonos körülmények között. Véletlenszerűség és a káosz # 151; nem ugyanaz a dolog. Kiderül, hogy a véletlen kísérletek vannak törvények, mint a tulajdon „statisztikai fenntarthatóság”. ha # 151; Néhány esemény, amely lehet, hogy nem fordulhat elő, ha a kísérlet, az aránya a kísérletekben, amelyekben az esemény bekövetkezett, hajlamos arra, hogy stabilizálják a növekvő teljes számos kísérleti közeledik egy meghatározott számot. Ez a szám az objektív ismérve „foka lehetőséget” esemény fordul elő.
Tartsuk szem előtt, hogy mi a matematika, és nem foglalkozik a valóságot, hanem csak annak matematikai modellt. Tanulmányozni fogjuk csak a matematikai modellek és azok alkalmazása a valóság elhagyta a matematikai és gyakorlati statisztika.
Meghatározása 1.Prostranstvom elemi események ( „omega”) egy sor tartalmazza az összes lehetséges kimenetelt a véletlen kísérlet, a kísérletben, amelynek pontosan egy. Ennek elemei készlet az úgynevezett elemi események és betűvel jelöljük ( „Omega”).
Meghatározása 2.Sobytiyami hívjuk alcsoportok. Azt mondják, hogy ennek eredményeként a kísérlet nem volt olyan esemény, ha volt egy kísérlet elemi eredmények készletbe foglalva.
2. megjegyzés Általánosságban elmondható, hogy lehetséges, hogy nevét a rendezvény nem szükségképpen részhalmaza, de csak egy bizonyos elemeinek alcsoportok. Az értelme ennek a korlátozás később beszélünk.
1. példa Egy alkalommal dobott kocka # 151; kocka. Tekintsük a tér elemi esemény, elemi eredmények itt számát jelenti esett pont.
Azokra az eseményekre: # 151; leesett egy vagy két pontot; # 151; Úgy esett, hogy páratlan számú pontot.
2. példa: Kétszer kocka dobják. Vagy ami ugyanaz a dolog, ha dobott a két kockával. Feltesszük tér elemi esemény több pár szám, ahol (sotvetstvenno,) a pontok számát, hogy esett az első (második) dobálják :.
Azokra az eseményekre:
# 151; Az első dobás esett egy pontot;
# 151; Leesett a második dobás egy pont;
# 151; A csontok csökkent az azonos pontok száma;
# 151; esett a két kockával páratlan számú pontot.
3. példa Az érme megüti a asztal felületén. A kísérlet eredményét lehet tekinteni, mint a koordináta Az érme közepén. A tér elemi eredmények # 151; sok pontot asztalra. Ha nem vagyunk közömbösek a forgásszög az érme, akkor lehetséges, hogy adjunk a beállított középpontjának helyzetét értékének ez a szög. Ebben az esetben, sokan vannak párok, ahol # 151; asztal és pont # 151; forgatás szögét. Számú elemi eredményeinek egy ilyen kísérlet megszámlálhatatlan.
4. példa Az érme dobni, amíg amíg feltűrt Crest. Eredmény tér áll egy végtelen, de megszámlálható száma eredmények: ahol p értéke veszteség farok és r # 151; Emblem egy dobás.
1. Pontosság hívják olyan esemény, amely szükségképpen fordulhat elő, ha a kísérlet, azaz az egyetlen esemény, amely magában foglalja az összes elemi eredmények # 151; eseményt.
2. Lehetetlen nevezett esemény, amely akkor fordulhat elő, mint eredményeként a kísérlet, azaz Amennyiben nem tartalmazó elemi eredmény ( „üres”), amelyet. Figyeljük meg, hogy mindig.
A valószínűségszámítás, vannak pontosan ugyanazokat a műveleteket meghatározza, mint a halmazelmélet.
1. Association események és az úgynevezett esemény, amikor az a tény, hogy nem volt semmilyen, az egyik vagy mindkét esemény egy időben. A nyelv a halmazelmélet egy sor egyaránt tartalmazó elemi eredményeit a sok és elemi eredmények a készlet.
2. A metszéspontja események nevezzük egy esemény, amely az a tény, hogy mindkét esemény történt egyszerre. van egy sor, amely az alapvető eredményeinek nyelvén halmazelmélet tagjai készletek és kereszteződést.
3. Az ellenkező (vagy komplementer), az eseményt nevezzük az eseményt, amely az a tény, hogy az esemény, melynek eredményeként a kísérlet nem történt meg. Ie szett elemi esemény kívül.
4. kiegészítésében eseményt nevezzük az eseményt, amely az a tény, hogy az esemény történt, de nem történt meg. Ie szett tartalmaz elemi eredményeit tartalmazza a készlet, de nem az.
1. Események és felhívta következetlen. if.
2. Az eseményeket nevezzük kölcsönösen összeegyeztethetetlen. ha van, ahol az események és következetlen.
3. Azt mondják, hogy az esemény vonzza egy eseményt, és írni, ha valaha, amint olyan esemény következik be, és az esemény. A nyelv a halmazelmélet, ez azt jelenti, hogy olyan elemi eredményt, tartalmazza a készlet, mind benne van a készlet, vagyis tartalmazza.
elemi esemény helyet fogják hívni diszkrét. ha véges vagy megszámlálható:
Ily módon a kísérletek példák 1. 2. és 4. (de nem 3) vezet a diszkrét terek elemi esemény.
A több megszámlálható. ha létezik egy az egyhez megfelelés a monitor és a készlet minden természetes számot. Manipulatives készletek, például a természetes számok halmaza, az egész számok, a racionális számok halmaza páros számok, stb A több Természetesen, ha áll egy véges számú elemet.
Annak megállapításához a valószínűsége mindenesetre a diszkrét térben elemi események, egyszerűen rendelheti valószínűsége az egyes elemi kimenetelét. Akkor annak a valószínűsége mindenesetre úgy definiáljuk, mint az összege a valószínűségek elemi eseményekre is.
Definíció 6. Azt hogy egyes elemi eredmény összhangban számot, hogy
Hívjuk számú elemi valószínűség kimenetelét. az esemény valószínűségét fogja hívni a számot
összegével egyenlő annak a valószínűségét elemi események készletbe foglalva. Ha beállítottuk.
4. megjegyzésben Később, miután megismerkedett az axiómák valószínűségszámítás, mi határozza meg a valószínűsége maga az esemény, inkább, mint a valószínűség elemi események. Sőt, hogy ha egy esemény valószínűsége nyerhető elemi valószínűségek eredményeinek, amely nem több, mint egy megszámlálható számú elemi események (egyébként a koncepció összegzés önmagában nem meghatározott). De a diszkrét térben elemi eredmények valószínűségének meghatározására az események oly módon történik a meghatározása 6. mindig lehetséges.
Mi listát a nyilvánvaló abban az esetben a tulajdonságait a diszkrét valószínűségi mezőn, amit hamarosan bizonyítani jobb általában.
2. Ha nem kompatibilis, akkor;
3. Az általános eset
Feladat 8. Bizonyítsuk ingatlan 1 # 151; 4, 6, a meghatározás.
Tekintsük a különleges esetben, ez a valószínűség # 151; az úgynevezett „klasszikus valószínűség.”
Tegyük fel, hogy van dolgunk a tér elemi esemény, amely véges számú elemet :. Tegyük fel, hogy ki minden oka tudjuk venni elemi egyaránt lehetséges következményeket. Akkor annak a valószínűsége sem őket egyenlőnek kell lennie. Ezek a megfontolások nem relevánsak a matematikai modell alapján, valamint néhány szimmetria a kísérletben (szimmetrikus érme, jól keverjük össze pakli kártya, a megfelelő csont).
Ha az esemény alkotja az elemi események, a valószínűsége ennek az eseménynek az aránya:
ahol a szimbólum jelöli a számát elemeinek véges.
Definíció 7. Azt mondjuk, hogy a kísérlet megfelel a klasszikus definíciója valószínűsége. ha a tér elemi esemény áll véges számú egyformán lehetséges következményeket. Ebben az esetben, a valószínűsége, mindenképpen számítják az alábbi képlet szerint
az úgynevezett klasszikus definíciója valószínűsége.
A képlet a következő: „Annak a valószínűsége az esemény az aránya az összes esetek száma: kedvező az esemény, az összes eredményeket.” Érdemes összehasonlítani a klasszikus definíciója a mondat Jakob Bernoulli (1). „A valószínűség mértékű megbízhatósággal és eltér részeként az egész» (Ars Conjectandi, 1713)
Most látni, hogy a számítás a valószínűségek a klasszikus rendszerben csapódik le, hogy adja Számolja az összes „esélye”, és a több esélye kedvező esemény. A több esélye, hogy fontolják meg a kombinatorika képleteket.
Tekintsük az 1. bekezdésben meghatározott urna rendszer. Három rendszerek: a visszatérés, és tekintettel a rend, és nem veszi figyelembe a visszatérés érdekében, valamint a csere nélkül és tekintet nélkül arra, hogy annak érdekében, megfeleljen a fogalom klasszikus valószínűség. A teljes száma az elemi események ezek a rendszerek a becslések tételekbeli 3. és 4. 2. egyenlő, ill ,. A negyedik program # 151; kiválasztásával visszatérő ág és tekintet nélkül arra, hogy a rend # 151; Ez nyilvánvalóan neravnovozmozhnye eredményeket.
5. példa Nézzük a választás a két golyó a két, vagy ami ugyanaz, kétszer a pénzfeldobás. Mivel a rend, akkor lesz az eredmény négy, és ezek mind egyformán lehetséges, azaz Van egy valószínűsége 1/4:
Ha a sorrend nem veszi figyelembe, szükséges, hogy be az eredmény a legutóbbi két, az eredmény ugyanaz a kísérlet, és kap nem négy, hanem három eredmények:
Az első két eredményeknek valószínűsége 1/4, és az utolsó # 151; valószínűsége 1/4 + 1/4 = 1/2.
Exercise 9. Számítsuk ki a elemi esemény a 2. példa (a feldobás két kocka). Hogyan lesz a tér elemi események, ha a sorrend nem veszi figyelembe a csont? Megszámlálja az elemi események egy ilyen térben (5. tétel vagy közvetlen számolás). Biztosítani kell, hogy vannak pontosan. hogy ezek az eredmények egyformán valószínű? Számoljuk ki a valószínűsége az egyes.
Példa 6. A dobozok, amelyben a fehér és fekete golyó véletlenszerűen, és eltávolítani anélkül cseréje golyó. A „véletlen” azt jelenti, hogy az előfordulása olyan készlet golyókat egyenlően valószínű. Annak a valószínűsége, hogy nem lesz kiválasztva, fehér és fekete golyó.
Határozat. Vagy ha a szükséges valószínűsége nulla, mivel a megfelelő eseményt lehetetlen. Let.
A kísérlet eredményét egy sor golyót. Nem lehet figyelmen kívül hagyni, vagy figyelembe veszi a sorrendben a labdákat, a valószínűsége nem függ a számítási módszer.
Choice tekintet nélkül rendelni. A teljes száma az elemi események száma -element halmaz részhalmazainak elemekből álló: (Tétel 3).
Jelöljük az esemény, a valószínűsége, hogy meg akarja találni. Ez kedvez az előfordulása mindenképpen sor, amely a fehér és fekete golyó. A sikerek száma megegyezik a termék (a tétel 1) számos módon, hogy válassza ki a fehér golyó és a számos módszer közül választhat fekete golyó, azaz . esemény valószínűsége
Choice tekintettel a sorrendben. A teljes száma az elemi események száma módon helyezze az elemeket a földön: 2. tétel.
Ha megszámoljuk a kedvező eredmények figyelembe kell venni, hogy számos módon lehet választani a fekete és a fehér golyó és a számos módon rendezni ezeket a golyókat között. Akkor például, számolja meg a módját választja helyek között (azonos), akkor az számos módon elhelyezni ezeken a helyeken fehér golyó (egyenlő), majd a számos módon helyezze a fennmaradó területeken fekete golyó (egyenlő). Szorzás (miért?) Ezeket a számokat, megkapjuk
A probléma tekinteni, összehasonlítottuk mindegyik a fehér és a fekete golyó a valószínűsége, hogy ez meg, amikor kiválasztják golyó egy urna, amely a fehér és fekete golyó.
8. meghatározása közötti levelezés számának és annak a valószínűsége,
(Ha az, hogy u) az úgynevezett hipergeometriai forgalmazás.
Itt vagyunk az első, de nem utolsó találkozott az „elosztás” a valószínűség. Ez a szó azt jelenti, mindig egy bizonyos módon megosztani (terjeszteni) a teljes valószínűség közötti azonosság pontot, vagy beállítja a számegyenesen.
A hipergeometrikus elosztó egység valószínűleg között megosztjuk alkalmas egész számok egyenletesen. Minden integer egy megfelelő valószínűsége. A számegyenesen lehet egyetlen valószínűsége terjedését különböző módon. Ez az eloszlás eltér egymástól: az a tény, amelyen a számok halmaza „kiosztott” teljes valószínűség az identitás, és amelyben súlyok vagy valószínűségek rendelt egyedi pontok vagy részei a készlet.
Gyakorlat 10. Ahhoz, hogy megértsük az utolsó bekezdés.