Euler grafikonok

1. Tegyük fel, hogy a gráf egy csúcsa páratlan fokú. Tekintsük az Euler túra a grafikonon. Megjegyezzük, hogy ha belép a felső és a kilépés úgy csökkentjük azt a szintet két (bejelöljük már túljutottak a bordák), ha a csúcs nem otthon (ez a végső a ciklusban). Kezdeni (vége) A csúcsának azt csökkenteni, hogy egy fokkal az elején bypass Euler ciklust, és az egyik végén. Következésképpen csúcsú páratlan fokú nem lehet. A feltételezés hamis.

2. Ha a grafikon egynél több csatlakoztatott készüléken a bordák, nyilvánvaló, hogy nem tudjuk átadni a szélük egy.

Euler útvonal nincs.
A csúcsok száma a páratlan fokú kettőnél nagyobb.

A két komponens csatlakoztatva, van egy borda.

Az igény megmutattuk előtt. Lássuk be a megfelelőséget, az indukció a csúcsok száma.

Base indukciós ciklus létezik.

Feltételezzük, hogy a gráf, amelynek csúcsai kevesebb Euler ciklust.

Vegyünk egy összefüggő gráf, melynek csúcsai akinek fokkal még.

Let - csúcsot. Mivel a gráf összefüggő, van kiút az. Képzés - még, ez azt jelenti, van egy használaton kívüli éle, amely az út megy. Mivel a végső szám, az út, a végén, hogy menjen vissza, így kapunk egy zárt pályán (ciklus). Hívjuk ezt a ciklust. Mi továbbra is építeni keresztül ugyanúgy, amíg mi még egyszer nem jön a felső, azaz lefedi az összes élek esetet. Ha egy Euler ciklus, akkor készen vagyunk. Ha nem, akkor legyen - részgráf eltávolításával kapott valamennyi tartozó éleket. Mivel tartalmaz páros számú élek, amelyek az eset, hogy minden csúcsa, a csúcs minden részgráf van chotnuyu mértékben. És mivel kiterjed minden olyan élek eset, akkor a grafikon állna számos kapcsolódó alkatrészeket.

Tekintsünk egy összefüggő komponens. Mivel ez a csatlakoztatott komponens kevesebb mint csúcsok és minden csúcsba chotnaya mértékben, akkor minden egyes csatlakoztatott készülék létezik Euler ciklust. Tegyük fel, hogy a figyelembe vett elemek svyaznoti ebben a ciklusban. Van egy közös csúcspont és a távközlés. Most már lehet kapni körül Euler túra, kezdve a tetején az ő, hogy kb. visszatéréshez, majd menj vissza. Ha az új Euler ciklus nem Euler ciklus továbbra is használni ezt a folyamatot, bővülő Euler ciklus mindaddig, amíg a végén, akkor kap az Euler ciklust.

A területen van egy Euler útvonal akkor és csak akkor:

1. csúcsok száma páratlan fokú kisebb vagy egyenlő, mint kettő.

2. Minden csatlakoztatott komponensek kivéve talán az egyik, nem tartalmazzák a bordák.

Add összekötő él csúcsot páratlan mértékben. Most már meg egy Euler ciklus, akkor távolítsa el a hozzáadott él. Nyilván talált ciklusban válik.